Asım Demirkök, 24 Haziran 1938 tarihinde Malatya'da doğdu. Gazeteci, yazar, televizyon yorumcusu ve araştırmacı kimliğiyle tanınan Demirkök, Malatya basınının duayen isimleri arasında yer almaktadır.
Küçük yaşta babası İbrahim Demirkök'ü kaybeden Asım Demirkök, zorlu bir çocukluk dönemi geçirdi. İlk ve orta öğrenimini Malatya'da tamamladıktan sonra 1961 yılında Ankara Üniversitesi Dil, Tarih ve Coğrafya Fakültesi Coğrafya Bölümü'nü kazandı. Ancak maddi imkânsızlıklar nedeniyle üniversitenin ikinci sınıfından ayrılmak zorunda kaldı ve çalışma hayatına atıldı. Yaklaşık 58 yıl aradan sonra, üniversite eğitimini yarıda bırakanlar için çıkarılan öğrenci affından yararlanarak 2019 yılında İnönü Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Sosyoloji Bölümü'ne kayıt yaptırdı. 80'li yaşlarında üniversite sıralarına dönerek genç öğrencilerle aynı sınıfta ders gördü ve "Okumanın yaşı yoktur" sözünün yaşayan bir örneği oldu.
Çalışma hayatına kamu sektöründe devam eden Demirkök, uzun yıllar Köy Hizmetleri bünyesinde görev yaptı ve 1988 yılında Malatya'da bu kurumdan emekli oldu.
Gazeteciliğe 1960'lı yılların başında Tunceli'nin Sesi Gazetesi'nde köşe yazarlığı yaparak başladı. 1975 yılında Şanlıurfa'da "Organ" isimli bir dergiyi hem sahipliğini üstlenerek hem de köşe yazıları yazarak çıkardı. 1988 yılında emekli olup Malatya'ya döndükten sonra Hamle, Olay, Yorum, Güneş ve Gerçek gazetelerinde köşe yazıları kaleme aldı. Uzun yıllar Malatya Söz Gazetesi'nde köşe yazarlığı yaptı ve 2026 yılı itibarıyla da yazılarına devam etmektedir. Gazetelerde yayımlanan seçkin yazılarını "Çerçeveye Sığmayanlar 1" ve "Çerçeveye Sığmayanlar 2" adlı iki kitapta topladı.
Malatya'da kurulan ilk yerel televizyonlarla birlikte ekranlarda yer almaya başlayan Demirkök, uzun yıllar "Çerçeveye Sığmayanlar" adlı programı hazırlayıp sundu. 2017 yılına kadar düzenli televizyon programcılığı yaptı, sonraki yıllarda da yerel televizyon programlarına konuk ve yorumcu olarak katılmaya devam etti.
Yazılarında ve yorumlarında demokrasi, insan hakları, toplumsal barış ve kültürel kaynaşma temalarını işleyen Demirkök, demokrasinin bir süreç olduğuna inanmakta ve farklı inanç ile kimliklerin ancak bilgi ve eğitim yoluyla bir arada huzur içinde yaşayabileceğini savunmaktadır. Kendisini "yaşamı ve toplumsal mücadeleyi seven" bir aydın olarak tanımlamaktadır.
Evli olan Asım Demirkök'ün iki erkek çocuğu ve iki torunu bulunmaktadır. Hayatını Malatya'da sürdüren Demirkök, ilerleyen yaşına rağmen köşe yazarlığı ve televizyon yorumculuğunu sürdürmekte, azmiyle genç nesillere örnek olmaya devam etmektedir.